Setelah kegiatan pembelajaran 3 ini diharapkan kalian dapat mendeskripsikan jarak titik ke bidang dalam ruang, menjelaskan prosedur menentukan jarak titik ke bidang, dan menentukan jarak titik ke bidang dalam ruang bidang datar.
B. Uraian Materi
Konsep Jarak Titik ke Bidang
Tiang penyangga dibuat untuk menyangga atap suatu gedung. Tiang penyangga ini menghubungkan suatu titik pada salah satu sisi gedung dan suatu titik pada bidang atap seperti ditunjukkan pada Gambar 1.
Apabila dibuat gambar tampak samping diperoleh seperti pada Gambar 2.
Dari Gambar 2, cermati gambar kayu penyangga dan atap. Dapatkah Anda menentukan kondisi atau syarat agar panjang kayu penyangga seminimal mungkin?
Perhatikan gambar di samping.
Titik P terletak di luar bidang α .
Jarak titik P ke bidang α merupakan panjang ruas garis tegak lurus yang menghubungkan titik P ke titik tembus pada bidang α.
Panjang ruas garis PQ = jarak titik P ke bidang α.
Langkah-langkah menentukan jarak titik P ke bidang α sebagai berikut:
1. Dari titik P, tarik garis m yang tegak lurus terhadap bidang α . Ingat garis m tegak lurus bidang α apabila garis m sedikitnya tegak lurus terhadap dua garis yang berpotongan pada bidang α.
2. Tentukan titik tembus garis m terhadap bidang α . Misalkan titik tembus ini adalah titik Q, jarak titik P ke bidang α adalah panjang ruas garis PQ.
Pengertian Jarak Titik ke Bidang
Contoh 1.
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Manakah yang merupakan jarak antara titik dan bidang berikut.
a. titik B ke bidang DCGH?
b. titik F ke bidang ADHE?
c. titik D ke bidang EFGH?
d. titik A ke bidang BDHF?
Jawab:
a. Jarak titik B ke bidang DCGH adalah panjang ruas garis BC, karena ruas garis BC tegak lurus bidang DCGH.
b. Jarak titik F ke bidang ADHE adalah panjang ruas garis FE, karena ruas garis FE tegak lurus bidang ADHE.
c. Jarak titik D dengan bidang EFGH adalah panjang ruas garis DH, karena ruas garus DH tegak lurus bidang CDHG.
d. Jarak titik A dengan bidang BDHF adalah panjang ruas garis AO, karena ruas garis AO tegak lurus bidang BDHF.
Contoh 2.
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Titik A, F, G, dan D dihubungkan sehingga terbentuk bidang AFGD seperti gambar di samping. Berapakah jarak titik B ke bidang AFGD?
Jawab:
Untuk menentukan jarak titik B ke bidang AFGD dapat ditentukan dengan mencari panjang ruas garis yang tegak lurus dengan bidang AFGD dan melalui titik B.
Ruas garis BT tegak lurus dengan bidang AFGD, sehingga jarak titik B ke bidang AFGD adalah panjang ruas garis BT.
Titik T adalah titik tengah diagonal AF, karena diagonal AF dan BE pada kubus berpotongan tegak lurus, dan perpotongannya di titik T.
Panjang diagonal AF = 6√2 , sehingga panjang AT = 1/2AF= 1/2(6√2)= 3√2.
Karena BT tegak lurus bidang AFGD, maka segitiga ATB adalah segitiga siku-siku di T. Dengan Teorema Pythagoras diperoleh
Jadi, jarak titik B ke bidang AFGD adalah 3√2 cm.
C. Rangkuman
• Misal P adalah titik dan α adalah bidang. Jarak antara P dengan bidang α adalah panjang ruas garis dari 𝑃𝑄, dengan 𝑄 di bidang α dan 𝑃𝑄 tegak lurus bidang α.
• Suatu garis g dikatakan tegak lurus bidang α apabila garis g sedikitnya tegak lurus terhadap dua garis yang berpotongan pada bidang α.
• Teorema Pythagoras dan rumus luas segitiga sangat penting untuk menghitung jarak suatu titik ke bidang dalam ruang bidang datar.
Setelah kegiatan pembelajaran 2 ini diharapkan kalian dapat mendeskripsikan jarak titik ke garis dalam ruang, menjelaskan prosedur menentukan jarak titik ke garis, dan menentukan jarak titik ke garis dalam ruang bidang datar.
B. Uraian Materi
Konsep Jarak Titik ke Garis
Pada gambar di bawah, titik A terletak di luar garis g. Bagaimana menentukan jarak antara titik A dan garis g?
Coba kalian ingat kembali materi jarak titik ke titik pada Kegiatan Pembelajaran 1, yaitu jarak titik ke titik adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan titik-titik tersebut.
Nah, jika kita ingin mencari jarak antara titik A ke garis g, maka kita perlu membuat sebuah titik yang terletak di garis g, lalu menarik sebuah ruas garis terpendek dari titik A ke titik pada garis g tersebut.
Manakah ruas garis terpendek? Tentunya ruas garis terpendek adalah ruas garis AB yang tegak lurus (membentuk sudut siku-siku) dengan garis g. Mengapa demikian?
Coba kalian perhatikan ruas garis AB dan AC. Terlihat bahwa ABC membentuk segitiga siku-siku di B dengan AC merupakan sisi miring. Nah, tentunya kalian masih ingat bahwa sisi miring merupakan sisi terpanjang pada sebuah segitiga siku-siku. Ini berarti bahwa ruas garis AB lebih pendek dari AC.
Demikian halnya jika kita membuat ruas garis lainnya dari A ke garis g, misalnya AD. Tentunya akan terbentuk segitiga ABD siku-siku di B dengan AD merupakan sisi miring. Berarti AD pun lebih panjang dari AB, dan demikian seterusnya.
Jadi, ruas garis terpendek adalah ruas garis AB. Dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa jarak titik A ke garis g adalah panjang ruas garis AB, yaitu ruas garis tegak lurus antar titik A ke garis g.
Dalam hal ini, titik B biasa disebut sebagai proyeksi titik A terhadap garis g.
Prosedur Menghitung Jarak Titik ke Garis
Langkah-langkah untuk menghitung jarak titik A ke garis g sebagai berikut.
a. Hubungkan titik A ke titik C dan titik D sehingga terbentuk segitiga ACD.
b. Hitung jarak antar dua titik, yaitu AC, AD, dan CD untuk menetapkan jenis segitiga.
c. Hitung tinggi segitiga ACD, yaitu AB yang merupakan jarak titik A ke garis g.
Dari langkah-langkah di atas, ada 3 jenis segitiga ACD yang mungkin terbentuk. Berikut ini cara menghitung panjang ruas garis AB atau jarak titik A ke garis g.
Contoh 1.
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Berapakah jarak titik A ke diagonal bidang BE?
Jawab:
Perhatikan gambar.
Jika titik B dan E dihubungkan dengan ruas garis, maka diperoleh,
Jarak titik A ke bidang diagonal BE adalah panjang ruas garis AM dengan BM = 1/2BE, karena segitiga ABE merupakan segitiga sama kaki (AB = AE).
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras diperoleh, AM2=AB2−BM2
Terlebih dulu ditentukan panjang BE. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras diperoleh, BE2=AB2+AE2 =62+62 =62×2 BE =√62×2=6√2
Sehingga panjang BM = 12BE= 12(6√2)=3√2.
Dengan demikian diperoleh, AM2=AB2−BM2
=62−(3√2)2
=36+18 =54 AM =√54= √9×6=3√6
Jadi, jarak titik A ke diagonal bidang BE adalah 3√6 cm.
C. Rangkuman
• Misal A adalah titik dan g adalah garis. Jarak titik A ke garis g adalah panjang ruas garis AB dengan B terletak di garis 𝑔, dan AB tegak lurus garis 𝑔. Titik B disebut pula proyeksi titik A terhadap garis g.
• Jarak titik A ke garis g merupakan panjang garis tinggi yang melalui titik A pada segitiga ABC dimana titik B dan C terletak pada garis g.
• Teorema Pythagoras dan rumus luas segitiga sangat penting untuk menghitung jarak suatu titik ke garis dalam ruang bidang datar.
Andi mempunyai kamar tidur yang berukuran 3m × 3m × 4m. Tepat di tengah plafon kamar Andi dipasang lampu. Jika saklar lampu diletakkan tepat di tengah salah satu dinding kamar, berapakah jarak dari lampu ke saklar?
Jawab:
Kamar Andi berukuran 3m × 3m × 4m, berarti panjang kamar 3 m, lebar 3 m, dan tinggi 4 m.
Jarak antara lampu dan saklar dapat diilustrasikan seperti gambar berikut.
Misalkan lampu (L), saklar (S) berada di dinding ADHE, dan P adalah titik tengah EH. Jarak antara lampu dan saklar adalah LS.
Panjang ruas garis PS = 1/2 AE = 1/2 (4 m) = 2 m.
Panjang ruas garis PL = 1/2 EF = 1/2 (3 m) = 3/2 m
Perhatikan segitiga LPS siku-siku di P, berdasarkan Teorema Pythagoras diperoleh hubungan:
Jadi, Panjang kabel terpendek yang diperlukan Andi untuk menghubungkan lampu dan saklar adalah 2,5 meter.
Contoh 2
Diketahui limas T.ABCD seperti pada gambar di bawah. ABCD merupakan persegi dengan panjang rusuk 6 cm. TA = TB = TC = TD = 5 cm dan M adalah titik tengah AC. Hitung jarak antara titik T dan titik M.
Jawab:
Jadi, jarak antara titik T dan titik M adalah √7 cm yang merupakan tinggi dari limas T.ABCD.
Setelah pembahasan materi ini, diharapkan kalian dapat mendeskripsikan jarak antar titik dalam ruang. Selain itu, dapat menjelaskan prosedur menentukan jarak titik ke titik, dan menentukan jarak titik ke titik dalam ruang bidang datar.
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak kita temukan penerapan dari konsep jarak dalam ruang. Coba perhatikan gambar berikut.
Gambar 1. Cable Stayed Bridge (Jembatan Kabel Penahan/kabel tetap)
Gambar di atas adalah gambar Jembatan Barelang yang menghubungkan antara Pulau Batam, Pulau Tonton, Pulau Nipah, Pulau Rempang, Pulau Galang dan Pulau Galang Baru. Dalam perencanaan pembangunannya tentunya diperlukan perhitungan panjang kabel penahan yang pada dasarnya merupakan jarak antar titik dalam ruang berdimensi tiga.
Contoh lain penerapan konsep jarak dalam ruang yang sangat dekat dengan kita adalah pembuatan kuda-kuda suatu rumah seperti gambar berikut.
Gambar 2. Kuda-kuda suatu rumah
Tentunya kalian sering melihat bentuk kuda-kuda rumah seperti gambar di atas. Untuk menghemat biaya pembuatan rumah, salah satu aspek yang harus diperhatikan adalah biaya pembuatan kuda-kuda rumah. Penentuan Rincian Anggaran (RAB) pembuatan kuda-kuda dapat ditentukan dengan matematika. Untuk mendapatkan rincian biaya tersebut, salah satu konsep yang dapat digunakan adalah dimensi tiga. Konsep yang dimaksud jarak titik dengan titik atau titik dengan garis.
Nah, bagaimana cara menghitung panjang kabel yang diperlukan seperti pada pembuatan Jembatan Barelang atau panjang kayu yang diperlukan untuk membuat kuda-kuda untuk atap rumah? Untuk itu kita akan membahas pada modul ini materi jarak dalam ruang bidang datar yang terdiri atas jarak antara titik, jarak titik ke garis, dan jarak titik ke bidang.
Konsep jarak titik ke titik
Sebelum mengetahui pengertian dari jarak tiitik ke titik, kalian harus mengetahui konsepnya terlebih dahulu. yuk kita perhatikan telebih dahulu dua contoh masalah di bawah ini untuk mengetahui bagaimana konsep dari jarak titik ke titik.
Contoh 1
Gambar kota dan Jalan yang menghubungkannya
Gambar di atas menunjukkan kota-kota yang terhubung dengan jalan. Sebuah titik mempresentasikan kota dan ruas garis mempresentasikan jalan yang menghubungkannya.
Mari kita umpamakan kalian sedang berada di kota A dan berencana ingin berangkat menuju kota C. Selanjutnya kalian tentukan kemungkinan rute-rute yang akan kalian pilih dan tentukan penjang rute-rute tersebut. Manakah rute yang terpendek? Kemudian berapakah jarak antara kota A ke kota C? Setelah dapat, berikan alasannya.
Nah, untuk menyelesaikan masalah di atas. Pertama-tama buat sebuah tabel kemungkinan rute yang akan kalian pilih seperti berikut.
Dari tabel di atas kalian akan melihat bahwa rute terpendek dari kota A ke kota C adalah rute yang pertama. Rute tersebut yakni A → C sepanjang 30 km.
Jadi, jarak antara kota A ke kota C adalah 30 km yang merupakan jarak lintasan terendek yang menghubungkan kota tersebut.
Contoh 2
Jarak dua titik pada lingkarang
Dua buah lingkarang di atas memiliki masing-masing titik dan ruas garis yang menghubungkannya. Titik A, B, C, D, dan E terletak pada lingkaran L1 dan titik P, Q, R, S, dan T terletak pada lingkaran L2. Tentukan ruas garis manakah yang mewakili jarak antara kedua lingkarang tersebut?
Untuk menjawab pertanyaan contoh permasalahan di atas, perlu kalian ketahui bahwa dalam geometri jarak antara dua bangunan yakni ruas garis terpendek yang menghubungkan dua titik pada kedua bangunan tersebut. Dalam gambar tersebut sudah terlihat jelas bahwa ruas garis terpendek dari pada yang lainnya yakni ruas garis CR. Maka dari itu ruas garis CR merupakan jarak antara lingkaran L1 dan lingkaran L2.
Nah, dari kedua contoh permasalahan di atas kalian pasti sudah bisa menyimpulkan pengertian dari jarak titik ke titik kan?
Pengertian jarak titik ke titik
Jadi, jarak titik ke titik adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan titik-titik tersebut. Dalam geometri pun, jarak dua bangun didefinisikan sebagai panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan dua titik pada bangun-bangun tersebut.
Latihan Soal
Nah, setelah mengetahui konsep dan pengertian dari jarak titik ke titik dalam ruang bidang datar saatnya kita latihan soal. Simak baik-baik ya contoh soal berikut ini.
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 20 cm.
Hitunglah jarak antara titik-titik berikut.
a. B ke F b. A ke D c. G ke H d. A ke C e. H ke B f. G ke titik tengah AB
Jawab:
a. Jarak titik B ke F merupakan salah satu rusuk dari kubus ABCD.EFGH. Karena kubus memiliki panjang rusuk yang sama, jadi jarak titik B ke F adalah 20 cm.
b. Jarak titik A ke D merupakan salah satu rusuk dari kubus ABCD.EFGH. Karena kubus memiliki panjang rusuk yang sama, jadi jarak titik A ke D adalah 20 cm.
c. Jarak titik G ke H merupakan salah satu rusuk dari kubus ABCD.EFGH. Karena kubus memiliki panjang rusuk yang sama, jadi jarak titik G ke H adalah 20 cm.
d. Jarak titik A ke C diwakili oleh panjang ruas garis AC. Ruas garis AC merupakan diagonal bidang alas ABCD.
Dari gambar di atas, bisa kita perhatikan ABC adalah segitiga siku-siku di B. Oleh karena itu, untuk menghitungnya kita bisa menggunakan Teorema Pythagoras sebagai berikut:
Jadi, jarak titik A ke C adalah 20√2 cm.
e. Jarak titik H ke B diwakili oleh panjang ruas garis HB. Ruas garis HB merupakan diagonal ruang kubus ABCD.EFGH.
Dari gambar di atas, bisa kita perhatikan bahwa segitiga BDH adalah segitiga siku-siku di D. Ruas garis BD adalah diagonal bidang alas ABCD, sehingga BD = AC = 20√2 cm (hasil perhitungan pada bagian d).
Bisa kita perhatikan juga BDH adalah segitiga siku-siku di D. Oleh karena itu, untuk menghitungnya kita bisa menggunakan Teorema Pythagoras sebagai berikut:
Jadi, jarak titik H ke B adalah 20√3 cm.
f. Misalkan P adalah titik tengah AB. Jarak titik G ke titik tengah AB diwakili oleh panjang ruas garis GP seperti ditunjukkan pada gambar berikut.
Dari gambar di atas, bisa kita perhatikan bahwa segitiga BGP adalah segitiga siku-siku di B. Ruas garis BG adalah diagonal bidang alas BCGF, sehingga BG = 20√2 cm (panjang BG = AC = BD, semuanya adalah diagonal bidang kubus ABCD.EFGH).
Bisa kita perhatikan juga BGP adalah segitiga siku-siku di B. Oleh karena itu, untuk menghitungnya kita bisa menggunakan Teorema Pythagoras sebagai berikut:
Jadi, jarak titik G ke P titik tengah AB adalah 30 cm.
Nah, itu lah seputar materi jarak titik ke titik dalam ruang bidang datar. Jadi, intinya jarak titik ke titik adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan titik-titik tersebut. Semoga Bermanfaat yaa!!
Assalamu Alaikum.
Perkenalkan saya adalah seorang Guru Kimia di sebuah sekolah Menengah di pelosok Sumatera Selatan, Kabupaten PALI. Alumni Pendidikan Kimia Universitas Negeri Makassar, Alumni Program SM-3T Angkatan II di Teluk Bintuni, Papua Barat. Alumni PPG Pasca SM-3T UPI Bandung.
Contoh 2.
