DIMENSI TIGA - JARAK TITIK KE BIDANG

 A. Tujuan Pembelajaran

Setelah kegiatan pembelajaran 3 ini diharapkan kalian dapat mendeskripsikan jarak titik ke bidang dalam ruang, menjelaskan prosedur menentukan jarak titik ke bidang, dan menentukan jarak titik ke bidang dalam ruang bidang datar.

B. Uraian Materi

Konsep Jarak Titik ke Bidang

Tiang penyangga dibuat untuk menyangga atap suatu gedung. Tiang penyangga ini menghubungkan suatu titik pada salah satu sisi gedung dan suatu titik pada bidang atap seperti ditunjukkan pada Gambar 1.

                                     

Apabila dibuat gambar tampak samping diperoleh seperti pada Gambar 2.

Dari Gambar 2, cermati gambar kayu penyangga dan atap. Dapatkah Anda menentukan kondisi atau syarat agar panjang kayu penyangga seminimal mungkin?

Perhatikan gambar di samping. 

Titik P terletak di luar bidang α  .

Jarak titik P ke bidang α merupakan panjang ruas garis tegak lurus yang menghubungkan titik P ke titik tembus pada bidang α.

Panjang ruas garis PQ = jarak titik P ke bidang α.

Langkah-langkah menentukan jarak titik P ke bidang α sebagai berikut:

1. Dari titik P, tarik garis m yang tegak lurus terhadap bidang α . Ingat garis m tegak lurus bidang α apabila garis m sedikitnya tegak lurus terhadap dua garis yang berpotongan pada bidang α.

2. Tentukan titik tembus garis m terhadap bidang α . Misalkan titik tembus ini adalah titik Q, jarak titik P ke bidang α adalah panjang ruas garis PQ.

Pengertian Jarak Titik ke Bidang

Contoh 1.

Diketahui kubus ABCD.EFGH. Manakah yang merupakan jarak antara titik dan bidang berikut.

a. titik B ke bidang DCGH?

b. titik F ke bidang ADHE?

c. titik D ke bidang EFGH?

d. titik A ke bidang BDHF?

Jawab:

a. Jarak titik B ke bidang DCGH adalah panjang ruas garis BC, karena ruas garis BC tegak lurus bidang DCGH.

b. Jarak titik F ke bidang ADHE adalah panjang ruas garis FE, karena ruas garis FE tegak lurus bidang ADHE.

c. Jarak titik D dengan bidang EFGH adalah panjang ruas garis DH, karena ruas garus DH tegak lurus bidang CDHG.

d. Jarak titik A dengan bidang BDHF adalah panjang ruas garis AO, karena ruas garis AO tegak lurus bidang BDHF.

Contoh 2.

Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Titik A, F, G, dan D dihubungkan sehingga terbentuk bidang AFGD seperti gambar di samping. Berapakah jarak titik B ke bidang AFGD?

Jawab:

Untuk menentukan jarak titik B ke bidang AFGD dapat ditentukan dengan mencari panjang ruas garis yang tegak lurus dengan bidang AFGD dan melalui titik B.

Ruas garis BT tegak lurus dengan bidang AFGD, sehingga jarak titik B ke bidang AFGD adalah panjang ruas garis BT.

Titik T adalah titik tengah diagonal AF, karena diagonal AF dan BE pada kubus berpotongan tegak lurus, dan perpotongannya di titik T.

Panjang diagonal AF = 6√2 , sehingga panjang AT = 1/2AF= 1/2(6√2)= 3√2.

Karena BT tegak lurus bidang AFGD, maka segitiga ATB adalah segitiga siku-siku di T. Dengan Teorema Pythagoras diperoleh

Jadi, jarak titik B ke bidang AFGD adalah 3√2 cm.

C. Rangkuman

• Misal P adalah titik dan α adalah bidang. Jarak antara P dengan bidang α adalah panjang ruas garis dari 𝑃𝑄, dengan 𝑄 di bidang α dan 𝑃𝑄 tegak lurus bidang α.

• Suatu garis g dikatakan tegak lurus bidang α apabila garis g sedikitnya tegak lurus terhadap dua garis yang berpotongan pada bidang α.

• Teorema Pythagoras dan rumus luas segitiga sangat penting untuk menghitung jarak suatu titik ke bidang dalam ruang bidang datar.