Metode Menentukan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
SPLTV merupakan kependekan dari Sistem Persamaan Linier Tiga (3) Variabel. Sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu persamaan matematika yang terdiri atas 3 persamaan linear yang masing-masing persamaan bervariabel tiga (misal x, y dan z). Dengan demikian, bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dalam x, y, dan z dapat ditulis sebagai berikut:
ax + by + cz = d | atau | a1x + b1y + c1z = d1 |
ex + fy + gz = h | a2x + b2y + c2z = d2 | |
ix + jy + kz = l | a3x + b3y + c3z = d3 |
Dengan a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 merupakan bilangan-bilangan real.
Keterangan:
a, e, I, a1, a2, a3 = koefisien dari x
b, f, j, b1, b2, b3 = koefisien dari y
c, g, k, c1, c2, c3 = koefisien dari z
d, h, i, d1, d2, d3 = konstanta
x, y, z = variabel atau peubah
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dapat ditentukan dengan beberapa cara, diantaranya adalah dengan metode subtitusi, eliminasi dan campuran (gabungan) metode subtitusi dan eliminasi. Nah, berikut ini penjelasan kedua jenis metode penyelesaian SPLTV tersebut. Silahkan kalian simak baik-baik.
1. Penyelesaian SPLTV Metode Subtitusi
Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLTV dengan metode subtitusi adalah sebagai berikut.
Langkah 1:
Pilihlah salah satu persamaan yang paling sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.
Langkah 2:
Subtitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah 1 ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga didapat sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).
Langkah 3:
Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah 2.
Contoh Soal:
Carilah himpunan penyelesaian SPLTV berikut ini dengan metode subtitusi.
x – 2y + z = 6
3x + y – 2z = 4
7x – 6y – z = 10
Jawab:
Pertama, kita tentukan dulu persamaan yang paling sederhana. Dari ketiga persamaan yang ada, persamaan pertama lebih sederhana. Dari persamaan pertama, nyatakan variabel x sebagai fungsi y dan z sebagai berikut.
⇒ x – 2y + z = 6
⇒ x = 2y – z + 6
■ Subtitusikan variabel atau peubah x ke dalam persamaan kedua
⇒ 3x + y – 2z = 4
⇒ 3(2y – z + 6) + y – 2z = 4
⇒ 6y – 3z + 18 + y – 2z = 4
⇒ 7y – 5z + 18 = 4
⇒ 7y – 5z = 4 – 18
⇒ 7y – 5z = –14 ……………….. Pers. (1)
■ Subtitusikan variabel x ke dalam persamaan ketiga
⇒ 7x – 6y – z = 10
⇒ 7(2y – z + 6) – 6y – z = 10
⇒ 14y – 7z + 42 – 6y – z = 10
⇒ 8y – 8z + 42 = 10
⇒ 8y – 8z = 10 – 42
⇒ 8y – 8z = –32
⇒ y – z = –4 ……………….. Pers. (2)
■ Persamaan (1) dan (2) membentuk SPLDV y dan z:
7y – 5z = –14
y – z = –4
■ Selanjutnya kita selesaikan SPLDV tersebut dengan metode subtitusi. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana yaitu persamaan kedua. Dari persamaan kedua, kita peroleh
⇒ y – z = –4
⇒ y = z – 4
■ Subtitusikan peubah y ke dalam persamaan pertama
⇒ 7y – 5z = –14
⇒ 7(z – 4) – 5z = –14
⇒ 7z – 28 – 5z = –14
⇒ 2z = –14 + 28
⇒ 2z = 14
⇒ z = 14/2
⇒ z = 7
■ Subtitusikan nilai z = 7 ke salah satu SPLDV, misal y – z = –4 sehingga kita peroleh
⇒ y – z = –4
⇒ y – 7 = –4
⇒ y = –4 + 7
⇒ y = 3
■ Selanjutnya, subtitusikan nilai y = 3 dan z = 7 ke salah satu SPLTV, misal x – 2y + z = 6 sehingga kita peroleh
⇒ x – 2y + z = 6
⇒ x – 2(3) + 7 = 6
⇒ x – 6 + 7 = 6
⇒ x + 1 = 6
⇒ x = 6 – 1
⇒ x = 5
Dengan demikian, kita peroleh nilai x = 5, y = 3 dan z = 7. Sehingga himpunan penyelesaian dari SPLTV di atas adalah {(5, 3, 7)}.
Untuk memastikan bahwa nilai x, y, dan z yang diperoleh sudah benar, kalian dapat mengeceknya dengan cara mensubtitusikan nilai x, y, dan z ke dalam tiga SPLTV di atas.
■ Persamaan pertama
⇒ x – 2y + z = 6
⇒ 5 – 2(3) + 7 = 6
⇒ 5 – 6 + 7 = 6
⇒ 6 = 6 (benar)
■ Persamaan kedua
⇒ 3x + y – 2z = 4
⇒ 3(5) + 3 – 2(7) = 4
⇒ 15 + 3 – 14 = 4
⇒ 4 = 4 (benar)
■ Persamaan ketiga
⇒ 7x – 6y – z = 10
⇒ 7(5) – 6(3) – 7 = 10
⇒ 35 – 18 – 7 = 10
⇒ 10 = 10 (benar)
Berdasarkan pembuktian tersebut, maka bisa dipastikan bahwa nilai x, y dan z yang diperoleh sudah benar dan memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel yang ditanyakan.
2. Penyelesaian SPLTV Metode Eliminasi
Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLTV dengan metode eliminasi adalah sebagai berikut.
Langkah 1:
Pilih bentuk peubah (variabel) yang paling sederhana.
Langkah 2:
Eliminasi atau hilangkan salah satu peubah (misal x) sehingga diperoleh SPLDV.
Langkah 3:
Eliminasi salah satu peubah SPLDV (misal y) sehingga diperoleh nilai salah satu peubah.
Langkah 4:
Eliminasi peubah lainnya (yaitu z) untuk memperoleh nilai peubah yang kedua.
Langkah 5:
Tentukan nilai peubah ketiga (yaitu x) berdasarkan nilai (y dan z) yang diperoleh.
Contoh Soal:
Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLTV berikut dengan menggunakan metode eliminasi.
2x – y + z = 6
x – 3y + z = –2
x + 2y – z = 3
Jawab:
Langkah pertama, kita tentukan variabel apa yang akan kita elminasi terlebih dahulu. Supaya mudah, lihat peubah yang paling sederhana. Pada tiga persamaan di atas, peubah yang paling sederhana adalah peubah z sehingga kita akan mengeliminasi z terlebih dahulu.
Untuk menghilangkan variabel z, kita harus menyamakan koefisiennya. Berhubung koefisien z dari ketiga SPLTV sudah sama yaitu 1, maka langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga peubah z hilang. Prosesnya seperti di bawah ini.
■ Dari persamaan pertama dan kedua:
2x – y + z | = | 6 | |
x – 3y + z | = | –2 | − |
x + 2y | = | 8 |
■ Dari persamaan kedua dan ketiga:
x – 3y + z | = | –2 | |
x + 2y – z | = | 3 | + |
2x – y | = | 1 |
Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.
x + 2y = 8
2x – y = 1
Langkah selanjutnya adalah kita selesaikan SPLDV di atas dengan metode eliminasi. Pertama, kita tentukan nilai x dengan mengeliminasi y. Untuk dapat mengeliminasi variabel y, maka kita harus menyamakan koefisien y dari kedua persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.
x + 2y = 8 → koefisien y = 2
2x – y = 1 → koefisien y = –1
Agar kedua koefisien y sama, maka persamaan pertama kita kali dengan 1 sedangkan persamaan kedua kita kali dengan 2. Setelah itu, kedua persamaan kita jumlahkan. Prosesnya adalah sebagai berikut.
x + 2y | = | 8 | |× 1| | → | x + 2y | = | 8 | |
2x – y | = | 1 | |× 2| | → | 4x – 2y | = | 2 | + |
5x | = | 10 | ||||||
x | = | 2 |
Kedua, kita tentukan nilai y dengan mengeliminasi x. Untuk dapat mengeliminasi peubah x, maka kita juga harus menyamakan koefisien x dari kedua persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.
x + 2y = 8 → koefisien x = 1
2x – y = 1 → koefisien x = 2
Agar kedua koefisien x sama, maka persamaan pertama kita kali 2 sedangkan persamaan kedua kita kali 1. Setelah itu, kedua persamaan kita selisihkan. Prosesnya adalah sebagai berikut.
x + 2y | = | 8 | |× 2| | → | 2x + 4y | = | 16 | |
2x – y | = | 1 | |× 1| | → | 2x – y | = | 1 | − |
5y | = | 15 | ||||||
y | = | 3 |
Sampai pada tahap ini kita sudah memperoleh nilai x = 2 dan y = 3. Langkah terakhir, untuk mendapatkan nilai z, kita subtitusikan nilai x dan y tersebut ke dalam salah satu SPLTV, misalnya persamaan 2x – y + z = 6 sehingga kita peroleh:
⇒ 2x – y + z = 6
⇒ 2(2) – 3 + z = 6
⇒ 4 – 3 + z = 6
⇒ 1 + z = 6
⇒ z = 6 – 1
⇒ z = 5
Dengan demikian kita peroleh nilai x = 2, y = 3 dan z = 5 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(2, 3, 5)}.
3. Penyelesaian SPLTV Metode Gabungan
Penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode gabungan/campuran merupakan cara penyelesaian dengan menggabungkan dua metode sekaligus, yakni metode eliminasi dan metode subtitusi. Metode ini bisa dikerjakan dengan subtitusi terlebih dahulu atau dengan eliminasi terlebih dahulu.
Contoh Soal:
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel di bawah ini dengan menggunakan metode campuran.
x – y + 2z = 4
2x + 2y – z = 2
3x + y + 2z = 8
Jawab:
■ Metode Eliminasi (SPLTV)
Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yang paling sederhana adalah y sehingga kita akan mengeliminasi y dulu. Untuk menghilangkan peubah y, maka kita harus menyamakan koefisien masing-masing y dari ketiga persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.
x – y + 2z = 4 → koefisien y = –1
2x + 2y – z = 2 → koefisien y = 2
3x + y + 2z = 8 → koefisien y = 1
Agar ketiga koefisien y sama, maka kita kalikan persamaan pertama dan persamaan ketiga dengan 2 sedangkan persamaan kedua kita kalikan 1. Prosesnya adalah sebagai berikut.
x – y + 2z | = | 4 | |× 2| | → | 2x – 2y + 4z | = | 8 |
2x + 2y – z | = | 2 | |× 1| | → | 2x + 2y – z | = | 2 |
3x + y + 2z | = | 8 | |× 2| | → | 6x + 2y + 4z | = | 16 |
Setelah koefisien y ketiga persamaan sudah sama, maka langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel y hilang. Prosesnya seperti di bawah ini.
● Dari persamaan pertama dan kedua:
2x – 2y + 4z | = | 8 | |
2x + 2y – z | = | 2 | + |
4x + 3z | = | 10 |
● Dari persamaan kedua dan ketiga:
2x + 2y – z | = | 2 | |
6x + 2y + 4z | = | 16 | − |
−4x − 5z | = | −14 | |
4x + 5z | = | 14 |
Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.
4x + 3z = 10
4x + 5z = 14
■ Metode Subtitusi (SPLDV)
Dari SPLDV pertama kita peroleh persamaan x sebagai berikut.
⇒ 4x + 3z = 10
⇒ 4x = 10 – 3z
Lalu kita subtitusikan persamaan y tersebut ke SPLDV kedua sebagai berikut.
⇒ 4x + 5z = 14
⇒ (10 – 3z) + 5z = 14
⇒ 10 + 2z = 14
⇒ 2z = 14 – 10
⇒ 2z = 4
⇒ z = 2
Kemudian, untuk menentukan nilai x, kita subtitusikan nilai z = 2 ke dalam salah satu SPLDV, misalnya persamaan 4x + 3z sehingga kita peroleh:
⇒ 4x + 3(2) = 10
⇒ 4x + 6 = 10
⇒ 4x = 10 – 6
⇒ 4x = 4
⇒ x =1
Langkah terakhir, untuk menentukan nilai y, kita subtitusikan nilai x = 1 dan z = 2 ke dalam salah satu SPLTV di atas, misalnya persamaan x – y + 2z = 4 sehingga kita peroleh:
⇒ x – y + 2z = 4
⇒ (1) – y + 2(2) = 4
⇒ 1 – y + 4 = 4
⇒ 5 – y = 4
⇒ y = 5 – 4
⇒ y = 1
Dengan demikian kita peroleh nilai x = 1, y = 1 dan z = 2 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(1, 1, 2)}.
